Considere dos conjuntos de elementos (personas, números o cualquier objeto).
Denote por x a un elemento del primer conjunto y por y a un elemento del segundo conjunto. Es posible establecer diversas
reglas que definan alguna relación entre x y y. i x y y son números enteros, es decir, que toman valores 1,2,3,...,
podríamos definir una relación al decir que y = x + 2.
Una relación que es de gran utilidad en las matemáticas es la relación funcional entre x y y.
DEFINICION
Una función consiste de dos conjuntos y una regla de correspondencia específica entre los elementos de los conjuntos,
de manera tal que a un elemento del primer conjunto le corresponde exactamente un elemento en el segundo conjunto.Una
función puede ser representada como una colección de parejas ordenadas de elementos (x, y) con x elemento del primer conjunto y y elemento del segundo.
Comúnmente, x y y son variables que toman valores numéricos. Los dos conjuntos de elementos son, en este caso, los conjuntos de los valores que x y y
pueden tomar, y la regla de correspondencia entre ellos una ecuación. Por ejemplo si se establece que x y y son números reales y que
y = x + 2
entonces y es una función de x. A un elemento x del primer conjunto (los números
reales) le corresponde exactamente un valor y del segundo conjunto (también los
números reales). Si x = 1, y = 3; si x = -4, y = -2 y así sucesivamente.
El área A de un círculo se relaciona con su radio r de acuerdo con la fórmula
A = π r 2
Note que, asignando un valor a r, el valor de A puede determinarse por la
fórmula. Esto es, A es una función de r. De igual forma se tiene que el perímetro de un
círculo es una función del radio.
Como un tercer ejemplo de relación funcional, considérese un salón de clases
con 20 estudiantes. Si x representa una persona y y representa su nombre, ¿es y una función de x? Para contestar, se debe examinar x y y a la luz de la definición. Nótese
que a cada persona le corresponde un nombre. Si se especifica x, y queda únicamente
determinado. Por lo que y es función de x. Es de notarse que para definir la regla de
una relación funcional no se requiere que x y y tomen valores numéricos. En el capítulo
4 encontraremos una importante relación funcional de este tipo.
Una vez definida la relación funcional, se considera ahora la notación funcional.
A menudo los matemáticos recurren al simbolismo para evitar repeticiones
innecesarias. Por ejemplo en vez de decir: “El área A de un circulo es una función del
radio r”, los matemáticos escriben A(r). La expresión
y = f ( x )
quiere decir que y es una función de la variable que aparece entre paréntesis, en este
caso y.
APLICACIONES
En muchos campos aplicados, inclusive a veces en textos de matemáticas, se encuentra la expresión "la función f(x)".
De acuerdo a nuestra definición actual, lo anterior no hace sentido, ya que f(x) es una notación para el elemento
del codominio. Otras veces, nos encontramos con algo así como "la función f(x) = x^2 - 3x + 7". Aunque aquí hay una
posible asignación, no se ha especificado ni el dominio ni el codominio, por lo que en rigor la función f no está bien
definida. En ciertos contextos, por ejemplo de funciones numéricas (dominio y codominio son subconjuntos de los Reales.
Las funciones se pueden representar graficamente en el plano cartesiano a través de un graficador el cual se constituye
en una herramienta muy poderosa para simplificar los procesos.
