El cálculo diferencial es una rama de la matemática que permite resolver diversos problemas donde el cambio de las variables se puede modelar en un
continuo numérico para determinar, a partir de ello, la variación de estos elementos en un instante o intervalo específico.Al aplicarlo, es posible
determinar el momento en que se da una tendencia al alza o a la baja del mercado a partir de los datos del índice bursátil,determinar la velocidad
máxima que un vehículo puede alcanzar en una carretera, el comportamiento que puede mostrar a largo plazo la concentración de una mezcla o predecir
el número de horas-hombre necesarias para un nivel de producción industrial; los anteriores son ejemplos de la amplia variedad de problemas que pueden
resolverse gracias a esta disciplina.
Sin embargo, para el surgimiento del cálculo diferencial, la humanidad tuvo que recorrer un camino largo y tortuoso para dilucidar claramente las ideas
que llevaron a la generación de los conceptos que permitieron su nacimiento. A continuación, se realiza un breve recorrido por sus orígenes.
Con la aritmética, geometría, álgebra y geometría analítica, las sociedades más avanzadas han logrado resolver la mayoría de sus enigmas matemáticos; sin embargo, existen algunos problemas prácticos que no pueden resolverse completamente con estos recursos. La falta de consistencia y generalidad en las soluciones encontradas hasta entonces para esos problemas obliga a una revisión del cimiento matemático.
Un ejemplo del tipo de problemas mencionados se muestra a continuación.
Supongamos que la aritmética, el álgebra y la geometría son suficientes para resolver cualquier problema y, a través de ellas,
se busca encontrar una forma alterna para poder encontrar el área de un círculo sin utilizar la fórmula aprendida en la educación
primaria (π r2). Para ello, se propone la alternativa de aproximar el área de un círculo mediante un polígono regular con el uso
del método exhaustivo propuesto por Eudoxo en el siglo IV a. C., el cual se ilustra parcialmente a continuación.
Área del círculo-área del polígono de tres a nueve lados Aproximación del área de un círculo a través de polígonos regulares
PreviousNext.
Si bien la intuición indica que debería ser posible aplicar este tipo de razonamientos en los problemas, la matemática dice algo
que no concuerda con esta percepción, o bien se puede pensar que matemáticamente no hay forma de expresar la idea propuesta.
Aquí se empieza a observar las inconsistencias de la herramienta matemática, particularmente si todo se limita a los recursos que
brindan la aritmética, la geometría y el álgebra.
A lo largo del tema, se han mencionado elementos sobre la intuición humana; sin embargo, se debe remarcar que el sentido común no
es el principal sustento de la matemática, la cual es un lenguaje preciso que utiliza símbolos y reglas fijas bien definidas que
permiten determinar y establecer de manera deductiva relaciones más complejas entre sus entes abstractos (aritméticos y geométricos)
sin romper o torcer esas reglas. Ante este tipo de escenarios, se presentarán los elementos que originarán el surgimiento de una
nueva rama de la matemática, denominada cálculo diferencial.
Como se ha mencionado, el cálculo diferencial surge a partir de problemas que no han podido ser modelados matemáticamente y,
por esta razón, no se sabe cómo resolverlos correctamente. Generalmente implican el manejo de operaciones algebraicas donde
se involucran cantidades que aumentan o disminuyen indefinidamente o una infinidad de sumandos o sustraendos; incluso las
}relacionadas con fracciones donde sus denominadores se hacen sucesivamente más grandes, más pequeños o nulos pueden ser
el epicentro del problema.
Es importante remarcar en este momento que existe una conexión real para estas incógnitas matemáticas y se asocia de manera práctica al
planteamiento de problemas que involucran eventos que suceden en tiempos extremadamente cortos o a muy largo plazo, pero también se puede
dar respecto a situaciones donde las posiciones entre objetos se aproximan continuamente o se encuentran indistinguiblemente cercanas.
Las condiciones reseñadas representan el núcleo de estos problemas matemáticos, varios de origen antiguo y otros más recientes, e inducen
de manera natural (después de muchos años de investigación asociada) al estudio de nuevas ideas relacionadas con el hecho de que la
cardinalidad numérica asociada a las variables de un problema algebraico puede crecer o decrecer indefinidamente, algo no resuelto en
la matemática previa.
Estos nuevos planteamientos señalan la concepción del cálculo diferencial, cuyo nacimiento se establece en el concepto de límite, el
cual aborda estos enigmas. También muestran que, por la necesidad de generalidad algebraica, esto implica también el desarrollo del
concepto de función y establecer dentro del contexto, en ambos casos, sus connotaciones aritméticas, algebraicas y geométricas
El cálculo diferencial surge asociado a problemas aritméticos, geométricos y algebraicos que implican el crecimiento o decrecimiento
indefinido de las variables de un problema algebraico
Por la descripción anterior, es posible observar la conveniencia de estudiar el cálculo diferencial a partir de las ideas de función
y límite; en este trayecto, podrás ver que de ellas se desprenden otros conceptos importantes como derivación e integración de
funciones, los cuales se han convertido en potentes y eficientes herramientas matemáticas para resolver una amplia gama de problemas
prácticos de diversas áreas de las ciencias exactas, administrativas y sociales.
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